Garrett P.'s Asymptotics of integrals (2007)(en)(9s) PDF

By Garrett P.

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F ≥ 0. • q è definita negativa, risp. semidefinita negativa, se q(v) < 0, ∀v = 0, risp. q(v) ≤ 0, ∀v, e scriveremo f < 0, risp. f ≤ 0. • q è indefinita se esistono v, v tali che q(v) > 0, q(v ) < 0. Si chiama radicale della forma quadratica q l’insieme Rad(q) := {v ∈ V ; q(v) = 0}. 43) λ ∈Spec( f ) ±λ >0 si chiama segnatura di q la coppia (ν+ (q), ν−(q)) ed indice d’inerzia di q l’intero i(q) := ν+ (q) − ν−(q). Il lettore verifichi per esercizio le proprietà seguenti: (i) Rad(q) = Ker f (dunque Rad(q) è un sottospazio di V ); (ii) se λ1 < λ2 < .

1 + γ )||A|| ||ζ ||=1 La prova del teorema è così conclusa. 11. Osserviamo quanto segue. • Con le notazioni di (ii), se si considera in Cn il nuovo prodotto hermitiano ζ , η H := H ζ , η , si ha HAζ , ζ = Aζ , ζ H . 9, il Teorema di Lyapunov può essere dunque riformulato dicendo che Spec(A) ⊂ Γ è equivalente all’esistenza di un prodotto hermitiano ·, · H in Cn , relativamente al quale la funzione 0 = ζ −→ Aζ , ζ H prende i suoi valori in Γ . • La dimostrazione che (i)⇒(ii) è costruttiva, ma non suggerisce come determinare tutte le matrici H = H ∗ > 0 per cui vale (ii).

Si scriva A = k ∑ λ j Pj , dove λ1, . , λk ∈ C sono le radici distinte di pA (z) e j=1 le Pj sono le matrici autoaggiunte corrispondenti ai proiettori ortogonali di Cn sugli autospazi di A (pensata come mappa lineare di Cn in sé). Data F come sopra si pone F(A) = k ∑ F(λ j )Pj . 57) j=1 Una conseguenza significativa di questa costruzione è il teorema seguente, la cui dimostrazione viene lasciata per esercizio al lettore. 6. Sia dato uno spazio vettoriale complesso V con prodotto hermitiano fissato.

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